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模糊综合评价方法

1. 概念:

    根据多个因素对事物进行评定，称为综合评判。在日常生活中，当要对某种东西作出好、较好、不好等评价时，常常感到不易判断。因为这是一个模糊的概念，同时涉及的因素很多，如果运用模糊数学的方法，将可以较好地解决。

2. 模糊合成算子

B = A $\circ$ B = $(a_1,a_2,...,a_m)\circ \left(\begin{array}{cccc}{b}_{11}& b_{12}& ....& b_{1n}\\ b_{21}& b_{22}& ...& b_{2n}\\ ...& ...& ...& ...\\ b_{m1}& b_{m2}& ...& b_{mn}\end{array}\right)$ = $(c_1,c_2,...,c_n)$

1. M($\wedge ,\vee$)算子
   m k = ∨ j = 1 m ( a j ∧ b j k ) = max ⁡ 1 < j ≤ m { min ⁡ ( a j , b j k ) } ， m_k =\vee^m_{j=1}(a_j \wedge b_{jk}) = \max\limits_{1<j\leq m}\{\min(a_j , b_{jk})\}， mk​=∨j=1m​(aj​∧bjk​)=1<j≤mmax​{
   min(aj​,bjk​)}，$k=1,2...n$
   $举个栗子:$
   (0.3  0.3  0.4) $\circ$ $\left(\begin{array}{cccc}0.5& 0.3& 0.2& 0\\ 0.3& 0.4& 0.2& 0.1\\ 0.2& 0.2& 0.3& 0.2\end{array}\right)$
   = (0.3  0.3  0.3  0.2)
    
2. M($\bullet ,\vee$)算子($\bullet$为点乘)
   m k = ∨ j = 1 m ( a j ∙ b j k ) = max ⁡ 1 < j ≤ m { a j ∙ b j k } ， m_k =\vee^m_{j=1}(a_j \bullet b_{jk}) = \max\limits_{1<j\leq m}\{a_j \bullet b_{jk}\}， mk​=∨j=1m​(aj​∙bjk​)=1<j≤mmax​{
   aj​∙bjk​}， $k=1,2...n$
   $举个栗子:$
   (0.3  0.3  0.4) $\circ$ $\left(\begin{array}{cccc}0.5& 0.3& 0.2& 0\\ 0.3& 0.4& 0.2& 0.1\\ 0.2& 0.2& 0.3& 0.2\end{array}\right)$
   = (0.15  0.12  0.12  0.08)
    
3. M($\wedge ,\oplus$)算子
   m k = min ⁡ { 1 , ∑ j = 1 m min ⁡ ( a j , b j k ) } ， m_k = \min\{1, \sum\limits_{j=1}^m{\min(a_j , b_{jk})}\}， mk​=min{
   1,j=1∑m​min(aj​,bjk​)}， $k=1,2...n$
   $举个栗子:$
   (0.3  0.3  0.4) $\circ$ $\left(\begin{array}{cccc}0.5& 0.3& 0.2& 0\\ 0.3& 0.4& 0.2& 0.1\\ 0.2& 0.2& 0.3& 0.2\end{array}\right)$
   = (0.08  0.08  0.07  0.03)
    
4. M($\bullet ,\oplus$)算子
   m k = min ⁡ { 1 , ∑ j = 1 m a j ∙ b j k } ， m_k = \min\{1, \sum\limits_{j=1}^m{a_j \bullet b_{jk}}\}， mk​=min{
   1,j=1∑m​aj​∙bjk​}， $k=1,2...n$
   $举个栗子:$
   (0.3  0.3  0.4) $\circ$ $\left(\begin{array}{cccc}0.5& 0.3& 0.2& 0\\ 0.3& 0.4& 0.2& 0.1\\ 0.2& 0.2& 0.3& 0.2\end{array}\right)$
   = (0.08  0.08  0.07  0.03)

总结:

3. 作出综合评价

经过算子后，通过对模糊评判向量B的分析作出综合结论，有三种方法:

• 法一：最大隶属度原则
    $M=max(b_1,b_2,...,b_n)$
• 法二：加权平均原则
    aver = $\frac{\sum _{i=1}^{n}a(v_i)\bullet m_i^k}{\sum _{i=1}^n{m}_i^k}$
  栗子:
  B = (0.3, 0.3, 0.3, 0.2)
  评价等级集合为={很好，好，一般，差}，各等级赋值分别为{4，3，2，1}
  aver = $\frac{4\times 0.3+3\times 0.3+2\times 0.3+1\times 0.2}{0.3+0.3+0.3+0.2}=2.64$
• 法三：模糊向量单值化
  c = $\frac{\sum _{i=1}^n{c}_i\bullet m_i^k}{\sum _{i=1}^n{m}_i^k}$

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